선형대수 3 행렬의 성질

행렬은 여러 개의 숫자로 이루어져 있으며로 실수처럼 부호나 크기를 정의하기 어렵다.
하지만 그와 부호/크기와 유사한 개념들을 행렬에서도 정의할 수 있다.

정부호와 준정부호

$x^T A x > 0$ 일때 양의 정부호라 한다.
$x^T A x \geq 0$ 일때 양의 준정부호라 한다.

보통 A가 대칭행렬에 대해서만 정의한다.

행렬의 크기

놈

• 놈은 항상 0보다 같거나 크다.
• 벡터에 대해서도 정의할 수 있다. (즉, 모든 행렬에 대해서 정의 가능)
• 벡터의 놈의 제곱이 벡터의 제곱합과 같다.
  $\Vert x \Vert^2 = \sum_{i=1}^N x_{i}^2 = x^Tx
  \tag{2.3.1}$
• 놈을 최소화하는 것은 벡터의 제곱합을 최소화하는 것과 같아.

대각합

• tr(A)
• 정방 행렬에 대해서만 정의되며, 대각원소의 합으로 계산된다.
  $\operatorname{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{NN}=\sum_{i=1}^{N} a_{ii}
  \tag{2.3.2}$
• 전치연산을 해도 대각합이 달라지지 않는다. $\text{tr} (A^T) = \text{tr} (A)
  \tag{2.3.3}$
• 트리이스 트릭식, 이차 형식의 미분을 구하는데 유용하다.
  $x^TAx = \text{tr}(x^TAx) = \text{tr}(Axx^T) = \text{tr}(xx^TA)
  \tag{2.3.4}$

행렬식

• $\text{det}(A)$ 또는

  A

  라는 기호로 표기한다.

• A가 1X1 즉 스칼라인 겨우 행렬식은 자기자신이다. $\det \left( \begin{bmatrix}a\end{bmatrix} \right) = a
  \tag{2.3.5}$
• A가 스칼라가 아니며 코팩터 전개라고 불리는 식으로 계산한다.
  $\det(A) = \sum_{i=1}^N \left{ (-1)^{i+j_0}M_{i,j_0} \right} a_{i,j_0}
  \tag{2.3.6}$
• 위 식에서 $a_{i,j}$는 A의 i행, j열 원소이다.
  또한 $j_{0}$는 내 마음대로 임의로 선택한 열이다.